Belajar Element Himpunan dan Bilangan

" Belajar Element Himpunan dan Bilangan "


hai sobat taukah anda apa itu pengertian Elemen, Himpunan dan Bilangan ?
jika belum mari kita belajar bersama 


pengertian Element
     
     Element atau anggota (bahasa Inggris: member) dari suatu himpunan dalam matematika adalah objek-objek matematika tertentu yang membentuk himpunan itu.
Relasi "adalah elemen", juga disebut set keanggotaan , dilambangkan dengan simbol "  ". Menulis 
x∈SEBUAH{\ displaystyle x \ dalam A}berarti " x adalah elemen  A ". Ekspresi yang setara adalah " x adalah anggota A ", " x milik A ", " x berada di A" dan " x terletak di A ". Ekspresi " A termasuk x " dan " A berisi x " juga digunakan untuk mengartikan keanggotaan, namun beberapa penulis menggunakannya sebagai gantinya " x adalah subset dari A ".  Ahli logika George Boolos sangat mendesak agar "berisi" digunakan hanya untuk keanggotaan dan "mencakup" untuk hubungan subset saja.

pengertian Himpunan 

       Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang diterangkan dengan jelas.
Notasi :
Penulisan himpunan diawali dengan huruf kapital.
Elemen/anggota suatu himpunan ditulis dalam tanda kurung kurawal {}
Contoh :
Himpunan bilangan bulat yang lebih besar dari -3 lebih kecil dari 3. Jika nama himpunannya dinotasikan dengan himpunan A, berarti himpuna tersebut dapat dituliskan dengan : A = {-2,-1,0,1,2}
     
                 B. Keanggotaan Suatu Himpunan
          Untuk menyatakan suatu anggota himpunan digunakan notasi Î, sedangkan untuk          menyatakan bukan anggota digunakan notasi Ï
 Contoh :
Himpunan A = { nama-nama bulan dalam tahun masehi}, maka februari Î A, sedangkan ahad Ï A.

Banyaknya suatu anggota himpunan A dituliskan dengan notasi n (A).
Contoh :
Himpunan A = {nama-nama bulan dalam tahun masehi}, maka jelas bahwa n(A) = 12, karena jumlah anggota himpunan A atau jumlah bulan dalam satu masehi adalah 12.

C. Macam-Macam Himpunan Bilangan Tertentu.
1. Jika G adalah himpunan bilangan genap ® G = {2,4,6,..,..}
2. Jika L adalah himpunan bilangan ganjil  ® L = {1,3,5,7,...,...}
3. Jika A adalah himpunan bilangan asli     ® A = {1,2,3,...,...}
4. Jika P adalah himpunan bilangan prima  ® P  = {2,3,5,7,....}
5. Jika C adalah himpunan bilangan cacah  ® C  = {0,1,2,3,..,..}

D. Menyatakan Suatu Himpunan 
a. Cara Deskripsi
Dengan penjelasan sifat-sifatnya atau dengan notasi pembentuk himpunan.
Contoh :
A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 7, dapat ditulis :
1. A = {bilangan cacah kurang dari 7}, atau
2. A = { x ½x < 7, Î bilangan cacah }

b. Cara Tabulasi 
Dengan mendaftarkan anggota himpunan satu per satu.
Contoh ;
A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 7, dapat dituliskan :
A = {0,1,2,3,4,5,6}

E. Himpunan Kosong dan Himpunan Semesta.
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memliki anggota.
Himpunan kosong dinotasikan dengan Ø atau {}
Contoh :
A = { siswa kelas VIII yang memili tinggi lebih dari 10 meter}, artinya A = Ø atau A = {}

Himpunan semesta adalah suatu himpunan yang memuat semua anggota dalam pembicaraan. Himpunan semesta umumnya dituliskan dengan notasi S.
Contoh :
Jika A = { a,b,c,d,e} dan X = {f,g,h,i}, maka himpunan semesta dapa berupa S = (a,b,c,d,f,g,h,i}

F. Himpunan Bagian
Jika setiap anggota dari himpunan A juga merupakan anggota dari himpunan B, maka A adalah himpunan bagian dari B atau subset B

Penulisan notasi himpunan bagian :
A Ì B artinya A adalah himpunan bagian dari B
A Ë B artinya A bukan merupakan himpunan bagian dari B.
Contoh :
Jika A = {bilangan asli}, Z = {bilangan bulat}, dan N = {bilangan prima}, maka hubungan yang yang dapat dilihat dari ketiga himpunan tersebut adalah : Z Ì A dan N Ì A

Sifat
Himpunan kosong merpakan himpunan bagian dari setiap himpunan dan setiap himpunan adalah himpunan bagian dari himpunan itu sendiri, yaitu untuk suatu himpunan A, maka berlaku  Ø Ì A dan A Ì A.
Contoh :
Jika P = {c.b.f}, maka himpunan bagian dari P adalah : {c}. {b}, {c}, {c,b}, {c,f}, {b,f}, {c,b,f} dan {}. Jadi banyaknya himpunan bagian dari himpunan P ada 8, yang juga termasuk himpunan kosong {}, dan himpunan P itu sendiri {c,b,,f}

Catatan
Jika jumlah anggota suatu himpunan A adalah n(A) = N, maka banyaknya anggota himpunan dari A adalah sebanyak 2N himpunan. 

G. Diagram Venn dan Hubungan Antar Himpunan
Diagram venn adalah gambar yang digunakann untuk menunjukan hubungan 
    
                beberapa hubungan antar himpunan dapat di tunjukan dengan diagram ven,     diantaranya :

                 a. Himpunan Bagian 

Suatu himpunan yang seluruh anggotanya merupakan bagian dari himpunan yang lain dan di notasikan dengan x Ì y.
Contoh :
Himpunan x = {1,3,5} dan y = {1,2,3,4,5}
maka diagram vennnya seperti gambar di samping.



        b. Himpunan Ekuivalen
Dua himpunan x dan y dikatakan ekuivalen dan dituliskan denga notasi x ~ y, jika kedua himpunan tersebut memiliki anggota yang sama banyaknya. Dengan kata lain, n(x)  = n(y).
     Contoh :
x = {p,e,r,s,i,b}. y = {t,e.r,t,i,b} ® n(x)  = n(y) = 6 artinya x ~ y.

       c. Himpunan yang sama 
    Dua himpunan x dan y dinyatakan sama jika setiap anggota himpunan x merupakan anggota                himpunan y, dan sebaliknya.Dinotasian dengan : A = B

 Contoh :
x = {bilangan cacah antara 2 dan 8 }
y = {bilangan asli antara 2 dan 8}
diagram venn jadi x = y = {3,4,5,6,7}
            
               d. Hubungan salang lepas
Dua Himpunan x dan y dikatakan saling lepas jika tidak ada satu pun anggota himpunan x yang menjadi anggota himpunan y, dan juga sebaliknya.
Contoh :
x = {1,4,5} dan y = {p,q,r}, artinya x dan y saling lepas, dan hubungan ini dapat dinyatakan dengan diagram venn di samping.



        e. Hubungan berpotong 
Himpunan x dan y dikatakan berpotongan atau beririsan jika ada anggota himpunan x yang juga menjadi anggota himpunan  y.

Contoh :
x = {p,r,i,n,c,e}, y = {p,a,r,i,s}
Maka dapat dinyatakan seperti diagram venn disamping.


adapun hukum-hukum yang berlaku untuk operasi himpunan yaitu sebagai berikut :

 a. Hukum Identitas 
· A∪∅=A
·  A∩U=A
b. Hukum null/dominasi
. A∩∅=A
·  A∪U=U
c. Hukum komplemen
· A∪A=U
· A∩A=∅
d. Hukum idempoten
·  A∪A=A
·  A∩A=A
e. Hukum involusi
(Ac)c = A
f. Hukum penyerapan (absorpsi)
· A∪(A∩B)=A
· A∩(A∪B)=A
g. Hukum komutatif
·  A∪B=B∪A
· A∩B=B∩A
h. Hukum asosiatif
·  A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
· A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
i. Hukum distributif
·   A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
·   A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
j. Hukum de morgan

  • (p ∩ q)' ≡ p' ∪ q'
  • (p ∪ q)' ≡ p' ∩ q
pengertian Bilangan 


1. Pengertian bilangan Bilangan adalah suatu konsep dalam ilmu matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran.
2. Pengertian bilangan bulat
Bilangan bulat adalah himpunan bilangan bulat negatif, bilangan nol dan bilangan bulat positif.
Contoh: B = { …., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….. }
3. Pengertian bilangan asli
Bilangan asli adalah bilanga positif yang dimulai dari bilangan satu ke atas.
Contoh: A = { 1, 2, 3, 4, 5, ….. }
4. Pengertian bilangan prima
Bilangan prima adalah bilangan yanga tidak dapat dibagi oleh bilangan apapun, keculai bilangan itu sendiri dan 1 (satu).
Contoh: P = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ….. }

5. Pengertian bilangan cacah

Bilangan cacah adalah himpunan bilangan positif dan nol
Contoh: C = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ….. }

6. Pengertian bilangan nol

Bilangan nol adalah bilangan nol itu sendiri (0)
Contoh: N = { 0 }

7. Pengertian bilangan pecahan

Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b, dengan a dan b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan a disebut sebagai pembilang dan bilangan b disebut sebagai penyebut.
Contoh: H = { ⅓, ⅔, ⅛, ⅝, ….. }
Keterangan tambahan: 4/2 = 2, berarti 4/2 bukan termasuk pecahan.

8. Pengertian bilangan rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dinyatakan dalam bentuk a/b, dengan a dan b adalah anggota bilangan bulat dan b ≠ 0.
Contoh: R = { ¼, ¾, …. }

9. Pengertian bilangan irrasional

Bilangan irrasional adalah bilangan – bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan atau bilangan selain bilangan rasional.
Contoh: I = { √2, √3, √5, √6, √7, ….. }
Keterangan tambahan: √4 = 2, berarti √4 bukan termasuk bilangan irrasional.

10. Pengertian bilangan Real

Bilangan real adalah bilangan yang merupakan gabungan dari bilangan rasional dan bilangan irrasional itu sendiri.
Contoh: R = { 0, 1, ¼, ⅔, √2, √5, ….. }

11. Pengertian bilangan negatif

Bilangan negatif adalah bilangan bernilai negatif.
Contoh: N = { -3, -5, ¼, …. }
Keterangn tambahan: -2/-3 = ⅔, berarti -2/-3 bukan termasuk bilangan negatif.

12. Pengertian bilangan positif

Bilangan positif adalah bilangan yang bernilai positif selain nol.
Contoh: P = { 2, 3, 4, ¼, …. }

13. Pengertian bilangan ganjil

Bilangan ganjil adalah bilangan yang apabilan dibagi 2 hasilnya selalu tersisa 1 atau bilangan yang dapat dinyatakan dengan (2n-1) dengan n = bilangan bulat.
Contoh: G = {-3, -1, 1, 3, 5, 7, …. }

14. Pengertian bilangan genap

Bilangan genap adalah bilangan bilangan yang selalu habis dibagi 2.
Contoh: E = { 2, 4, 6, 8, 10, ….. }

15. Pengertian bilangan komposit

Bilangan komposit adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1 dan bukan termasuk bilangan prima.
Contoh: K = { 4, 6, 8, 9, 10, 12, ….. }

16. Pengertian bilangan Riil

Bilangan riil adalah bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk decimal.
Contoh: L = { 5/8, log 10, …. }

17. Pengertian bilangan Kompleks

Bilangan kompleks adalah bilangan yang angota-anggotanya (a + bi) dimana a, b ϵ R, i2 = -1. Dengan a bagian bilangan rill dan b bagian dari bilangan imajiner.
Contoh: K = { 2-3i, 8+2, …. }

18. Pengertian bilangan imajiner

Bilangan imajiner adalah bolangan i (satuan imajiner) dimana i adalah lambang bilangan baru yang bersifat i2 = -1.
Contoh: M = { i, 4i, 5i, ….. }

19. Pengertian bilangan romawi

Bilangan romawi adalah sistem penomoran yang berasal dari romawi kuno menggunakan huruf latin yang melambangkan angka numerik.
Contoh: W = { I, II, III, IV, V, VI, IX, XII, …. }

20. Pengertian bilangan kuadrat

Bilangan kuadrat adalah bilangan yang dihasilkan dari perkalian suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri sebanyak dua kali dan disimbolkan dengan pangkat 2.
Contoh: D = { 22, 32, 42, 52, ….. }

Komentar

Posting Komentar