fungsi turunan implisit

TURUNAN FUNGSI IMPLISIT 

Dalam kalkulus, saat Anda memiliki persamaan untuk y yang dituliskan dalam bentuk x (misalnya y = x² -3x), mudah untuk menggunakan teknik-teknik penurunan dasar (disebut oleh para ahli matematika sebagai teknik-teknik turunan fungsi implisit) untuk mencari turunannya. Akan tetapi, untuk persamaan-persaman yang sulit untuk disusun dengan suku y saja pada salah satu sisi tanda sama dengan (misalnya x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19), diperlukan pendekatan yang berbeda. Dengan sebuah teknik yang disebut turunan fungsi implisit, mudah untuk mencari turunan persamaan-persamaan multi variabel selama Anda sudah mengetahui dasar-dasar turunan fungsi eksplisit! 

PENGERTIAN.

Dalam matematika, sebuah fungsi implisit adalah fungsi yang mana variabel takbebas tidak diberikan secara "eksplisit" dalam bentuk variabel bebas. Menyatakan sebuah fungsi f secara eksplisit adalah memberikan cara untuk menentukan nilai keluaran dari sebuah fungsi y dari nilai masukan x:

${\displaystyle y=f(x)}$

Sebailknya, sebuah fungsi adalah implisit apabila nilai y didapatkan dari x dengan memecahkan persamaan dalam bentuk:

${\displaystyle R(x,y)=0}$

Dengan kata lain, sebuah variabel dapat menentukan variabel lainnya, tetapi kita tidak diberikan rumus eksplisit untuk suatu variabel dalam bentuk variabel lainnya.

Secara formal, sebuah fungsi f:X→Y dikatakan sebagai fungsi implisit apabila fungsi tersebut memenuhi persamaan:

${\displaystyle R(x,f(x))=0}$

untuk semua x∈X, dengan R adalah fungsi pada perkalian Cartesian X × Y.

Lambang Turunan

Lambang turunan ke -n dari fungsi f dapat ditulis dengan berbagai cara, yaitu sebagai berikut.

Turunan	Notasi y′	Notasi f′	Notasi Leibniz	Notasi D
Pertama	y′	f′(x)		Dxy
Kedua	y″	f″(x)		y
Ketiga	y‴	f‴(x)
Keempat	y	f″″(x)
Kelima	y(5)	f(5)(x)
⁞	⁞	⁞	⁞	⁞
Ke-n	y(n)	f(n)(x)

Catatan : Aturan fungsi  f sendiri, yaitu y = f(x) adalah turunan ke-0 dari f.

Contoh :

1.      y = 6x³ + 12x² + 5x + 2 ® d³y/dx³ = ……?

            dy/dx = 18 x² + 24 x + 5

           d²y/dx² = 36x + 24.

            d³y/dx³ = 36

2.      y = sin 2x, ® d⁴y/dx⁴ = ……?

       dy/dx = 2 cos 2x,

                      d²y/dx² = -4 sin 2x,

                      d³y/dx³ = -8 cos 2x,

                     d⁴y/dx⁴  = 16 sin 2x.

2.3  Bentuk Umum Turunan ke - n

Dari aturan f⁽ⁿ⁾ untuk sejumlah  berhingga n, seringkali kita dapat menentukan suatu bentuk umum dari f⁽ⁿ⁾. Pada beberapa contoh berikut kita akan membahas beberapa contoh tentang bentuk umum dari turunan ke-n tersebut.

Contoh 1.  Hitunglah turunan ke-n dari fungsi f(x) = x^m, m bilangan asli.

Jawab: Turunan pertama, kedua, dan ketiga dari fungsi f adalah

                        f′(x)  = m x^m-1

                        f″(x) = m (m-1 ) x^m-2

                        f‴(x) = m(m-1) (m-2)  x^m-3

Dari tiga bentuk aturan ini, bentuk umum turunan ke-n dari fungsi f adalah

            f⁽ⁿ⁾(x) = m(m - 1) ( m- 2) … (m – (n - 1)) x^m-n

                         = m(m – 1)(m – 2) ... (m – n + 1) x^m-n

Contoh

y = x⁶® y^(4)..?

y⁽⁴⁾ = 6.5.4.3.x² = 360 x²

Contoh 2. Tentukan bentuk umum turunan ke-n dari fungsi f(x) = sin x.

Jawab:  Tentukan turunan pertama, kedua, ketiga dan keempat dari fungsi f, kemudian nyatakan hasilnya sebagai fungsi dari sinus lagi, maka diperoleh hasil sebagai berikut.

                        f′(x) = cos x = sin (x + π)

                        f″(x) = -sin x =sin (x + π)

                        f‴(x) = -cos x = sin (x + 1 π)                      

                        f″′′(x) = sin x = sin (x + 2π)

Dari hasil ini, maka bentuk umum turunan  ke-n dari fungsi f adalah

                        f⁽ⁿ⁾(x) = sin (x + n  π) = sin (x +  nπ).

Contoh 3. Tentukan bentuk umum turunan ke-n dari fungsi f(x) =

Jawab:  Tentukan turunan pertama, kedua, dan ketiga dari fungsi f, kemudian cermatilah ciri dari setiap bentuk yang muncul untuk memperoleh bentuk umumnya.

                                                f(x) = (1 + 2x)^-1           

            f′(x) = -(1 + 2x)^-2 (2) = -2(1 + 2x)^-2 = (-1)^-1.1!.2!.(1 +2x)^-2

            f″(x) = 4(1 + 2x)^-3(2) = 8(1 + 2x)^-3 = (-1)².2!.2².(1 + 2x)^-3

                f‴(x) = -24(1 + 2x)^-4(2) = -48(1 + 2x)^-4 = (-1)³.3!.2³.(1 + 2x)^-4

Dari hasil ini, maka bentuk umum turunan ke- n dari fungsi f adalah

f⁽ⁿ⁾(x) = (-1)ⁿ.n!.2ⁿ.(1 + 2x)^-(n+1), n = 1, 2, 3, …

Catatan bila didefenisikan  0! = 1, maka bentuk umum turunan ke- n ini berlaku juga untuk n = 0, karena

            f⁽⁰⁾(x) = (-1)⁰.0!.2⁰.(1 + 2x) ^-(0+1) = (1 + 2x) ^-1 =

Contoh 4. Tentukan bentuk umum turunan ke- n dari fungsi f(x) =

Jawab: Tentukan turunan pertama, kedua, ketiga, dan keempat dari fungsi f, kemudian cermatilah ciri spesifik setiap bentuk yang muncul untuk memperoleh bentuk umumnya.

                                    f(x) = (1 – x) ^-1/2

                f′(x) = -  (1 – x) ^-3/2 (-1) =  (1 – x) ^-3/2

                f″(x) = -  .  (1 – x) ^-5/2 (-1) =  (1 – x) ^-5/2

            f‴(x) = -  .  (1 – x) ^-7/2 (-1) =  (1 – x) ^-7/2 =  (1 – x) ^-7/2

            f″″(x) =    (1 – x) ^-9/2(-1) =   (1 – x) ^-9/2

Dari hasil ini, maka bentuk umum turunan ke- n dari fungsi f adalah

            f⁽ⁿ⁾(x) =   (1 – x)^{- (2n + 1)/2}

          =  (1 – x)^-(2n+1)/2, n = 1, 2, 3, …

Jika Y = u.v® y(n) = … Y(1) = u’v + uv’ Y(2) = u’’v + u’v’ + u’v’ + uv’’ = u’’v + 2u’v’+uv’’ y(n) = u(0) = u dan v(0) = v               Aturan leibinz Contoh : 1.      Y = X4 (3x + 5)3® Y(4) (pakai aturan LEIBNIZ) Penyelesaian : Misalkan : u = x4 dan v = (3x + 5)3 Y(4) =               U = x                                       v = (3x+5)3 U(1) = 3x3                                            v(1) = 9 (3x+5)2 U(2) = 12x2                                         v(2) = 54 (3x+5) U(3) = 24x                                           v(3) = 162 U(4) = 24                                             v(4) = 0 Y(4) = 1.24. (3x5)p + 4 (24x) {9(3x+5)}+       6.12x2 {54(3x+5)} + 4.4x3 . 162 + 1.x4     = 27216 x3 + 28600 x x2 + 27000 x + 3000 2.4       Pengertian Turunan Fungsi Implisit Fungsi Implisit adalah secara umum dapat ditulis sebagai  f(x,y)=0. dengan y sebagai fungsi dalam x. Fungsi ini dapat dinotasikan dengan y = f (x) disebut  fungsi eksplisit, yaitu antara peubah bebas dan tak bebasnya di tulis dalam ruas yang berbeda. Bila tidak demikian maka di katakana fungsi implisit. Dikenal juga bentuk fungsi implisit yaitu f(x,y) = 0. Untuk mencari turunan fungsi implisit ada dua cara yang biasa di tempuh : a.       Jika fungsi implisit {f(x,y) = 0} dapat diselesaikan ke-y atau dapat dengan mudah diubah menjadi fungsi eksplisit y = f(x) maka untuk mendapatkan dy/dx dengan cara yang sudah dibicarakan yaitu :                   Contoh      :  -2xy + x² - 1 = 0 (implisit)                                            y = (eksplisit) b.      Jika fungsi implisit {f (x,y) = 0} sulit diselesaikan ke dalam y atau diubah menjadi fungsi eksplisit maka perlu dibicarakan bagaimana mencari turunan fungsi implisit seperti yang akan dibahas berikut ini.    2.5    cara menyelesaikan soal yang berhubungan dengan turunan fungsi implisit.                         Dalam menentukan turunan fungsi implsit bila mungkin dan mudah untuk dikerjakan  dapat dinyatakan secara eksplisit terlebih dahulu kemudian ditentukan turunanya. Namun tidak semua fungsi implisit dapat diubah menjadi fungsi eksplisit, oleh karena itu akan dibahas cara menurunkanya fungsi dalam bentuk  implisit berikut.             , jawaban diperoleh dari metode 1 hanya melibatkan x , sedangkan dari jawaban metode 2 melibatkan x dan y . ingatlah meskipun demikian, bahwa persamaan asli dapat diselesaikan untuk y dalam x  untuk memberikan  y=  . ketika kita mensubstusi y =   kedalam persamaan untuk mendapatkan  , kita memperoleh hasil berikut: v  TURUNAN KE-DUA FUNGSI IMPLISIT          Contoh : Tentukan d2y/dx2dari fungsi di bawah ini ! 1.                  x2 + xy – y = 0 d/dx (x2) + d/dx (xy) – d/dx (y) = 0 2x + d/dx (x) . y + d/dy (y) .dy/dx .x – d/dy . (y) dy/dx ·                                 2x + y + x dy/dx – dy/dx = 0 dy/dx = - 2x - y                   x-1 ·                                                   d/dx (2x)+ d/dy(y)dy/dx+ d/dx (x) dy/dx+ d/dx (dy/dx).x– d/dx(dy/dx) = 0 2 + dy/dx +dy/dx + x.d2y/dx2 – d2y/dx2 = 0 2 + 2(- 2x - y ) + d2y/dx2 (x-1) = 0    x - 1 d2y/dx2 = - 2 +4x+2y                       (x-1)2 2.                                                      x + xy + y – 2 = 0 d/dx (x) + d/dx (xy) + d/dx (y) = 0 1 + y + x .dy/dx + dy/dx = 0 ·                                 1 + y + (x+1) dy/dx = 0 dy/dx = - 1 - y                 x + 1 ·                                 d/dx (0) + dy/dx + d/dx (dy/dx) . (x+1) + d/dx (x+1) .dy/dx = 0 dy/dx + d2y/dx2 (x+1) + dy/dx = 0 2 (dy/dx)   + d2y/dx2 (x+1) = 0 2 ( -1 – y ) + d2y/dx2 (x+1) = 0      x + 1 d2y/dx2 = 2 + 2y                  (x + 1)2